Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0．
（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂滿足

1

x1

+

1

x2

=1+

1

m+2

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的條件是△＞0，由△＞0可推出m的取值范圍．
（2）欲求m的值，先把代數(shù)式

1

x1

+

1

x2

變形為兩根之積或兩根之和的形式，然后與兩根之和公式、兩根之積公式聯(lián)立組成方程組，解方程組即可求m的值．

解答：解：（1）△=[-（2m+1）]²-4（m²+m-2）．
=4m²+4m+1-4m²-4m+8=9＞0
∴不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．

（2）解法一：
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2．
又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=1+

1

m+2

．
∴

2m+1

m2+m-2

=1+

1

m+2

．
整理得m²=4
解得m₁=2，m₂=-2
經(jīng)檢驗(yàn)m=-2是增根，舍去．
∴m的值為2．
解法二：
由原方程可得[x-（m-1）][x-（m+2）]=0
∴x₁=m+2，x₂=m-1
又∵

1

x1

+

1

x2

=1+

1

m+2

∴

1

m+2

+

1

m-1

=1+

1

m+2

∴m=2
經(jīng)檢驗(yàn)：m=2符合題意．
∴m的值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的判別方法，根與系數(shù)關(guān)系的靈活運(yùn)用等知識(shí)．根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系把求m的問題轉(zhuǎn)化為解方程的問題，是解決本題的關(guān)鍵．