Question

用1，9，9，0四個數碼組成的所有可能的四位數中，每一個這樣的四位數與自然數n之和被7除余數都不為1，將所有滿足上述條件的自然數n由小到大排成一列n₁＜n₂＜n₃＜n₄…．
試求：n₁•n₂之值．

Answer 1

分析：先寫出可能的四位數，然后可得出余數，然后根據它們加1，2，3都可能有余1的情形出現，而加4之后成為：4，6，7，9，10，沒有一個被7除余1，由此依次可得到最小及次小的n值，繼而可得出答案．

解答：解：可能的四位數有9種：
1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．
其中1990=7×284+2，1909=7×272+5．
1099=7×157，9091=7×1298+5，9109=7×1301+2，
9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，
9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．
即它們被7除的余數分別為2，5，0，5，2，5，3，3，6．
即余數只有0，2，3，5，6五種．
它們加1，2，3都可能有余1的情形出現，
而加4之后成為：4，6，7，9，10，沒有一個被7除余1，
所以4是最小的n．
又∵加5，6有：（5+3）÷7=1余1，（6+2）÷7=1余1，而加7之后成為7，9，10，12，13、沒有一個被7除余1、所以7是次小的n．
即n₁=4，n₂=7，
∴n₁×n₂=4×7=28．

點評：本題考查帶余數的除法，難度較大，根根據題意寫出可能的四位數并得出除以7后的余數是解答本題的突破口．