Question

（2009•普陀區二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點E．
（1）求∠ABD的度數；
（2）求證：BC=2CD；
（3）如AE=1，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于梯形ABCD是等腰梯形，由∠C的度數就可以得到∠ABD的度數；
（2）根據平行線的性質和AD=AB，我們不難得出∠ABD=∠DBC=30°，∠C=60°，由此得到三角形DBC是個直角三角形，而∠DBC=30°，這樣我們可得出BC=2CD；
（3）要求梯形ABCD的面積，關鍵是求BD，CD的長，再直角三角形ABE中，根據AE=1，∠ABD=30°，那么我們可求出BE的長，也就求出了BD的長，進而可以在直角三角形BCD中求出CD的長，然后根據梯形的面積=△ABD的面積+△BDC的面積即可求解．
解答：（1）解：∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
又∵AB=AD，
∴∠1=∠3．
∴∠1=∠2．
∵四邊形ABCD是梯形，
AB=DC，∠C=60°，
∴∠1=∠2=30°．
即∠ABD=30°．

（2）證明：∵∠C=60°，∠1=∠2=30°，
∴∠BDC=90°．
∴BC=2CD．

（3）
解：∵AE⊥BD，AE=1，
∴AB=2，．
∴CD=2，．
∴S_梯形ABCD=×2×1+×2×2=．
點評：本題考查了等腰梯形的性質，通過等腰梯形的性質得出各角的度數是解題的關鍵．