Question

（2002•哈爾濱）如圖，△ABC內接于⊙O，BC=4，S_△ABC=6，∠B為銳角，且關于x的方程x²-4xcosB+1=0有兩個相等的實數根．D是劣弧上任一點（點D不與點A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于點E，交AC于點F．
（1）求∠B的度數；
（2）求CE的長；
（3）求證：DA、DC的長是方程y²-DE•y+DE•DF=0的兩個實數根．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知關于x的方程有兩個相等的實數根，可根據根的判別式來得到cosB的值，進而判斷出∠B的度數；
（2）在（1）題中不難得出∠B=60°，而四邊形ABCD內接于⊙O，可得到∠ADE=∠CDE=∠B=60°，欲求CE，可先求出AC的長．過A作AG⊥BC于G，根據△ABC的面積和BC的長，可求得AG的值，進而通過解直角三角形可求出BG、CG的長，在Rt△AGC中，由勾股定理即可求得AC（即CE）的值；
（3）若DA、DC是所求方程的兩個根，需滿足兩個條件：①DA+DC=DE，②DA•DC=DE•DF；
①可在DE上截取DM=DA，連接AE，通過證△AME≌△ADC，來得到EM=DC，從而得到DA+DC=DE；
②通過證△ADF∽△EDC來求得DA•DC=DE•DF．
得到上述兩個條件后，即可根據根與系數的關系來證得所求的結論．
解答：（1）解：由題意知：
△=（4cosB）²-4=0，即cosB=；
∴∠B=60°；

（2）解：過A作AG⊥BC于G；
∵S_△ABC=BC•AG=6，
∴AG=12÷4=3；
Rt△ABG中，∠B=60°，AG=3，則BG=3；
Rt△AGC中，CG=BC-BG=1，AG=3，由勾股定理，得：
AC==2；
∵四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠B=120°；
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDA=∠B=60°；
∴EC=AC=2；

（3）證明：在DE上截取DM=DA，連接AM；
由（2）知：∠EDA=60°，則△ADM是等邊三角形，得：DA=DM=AM；
∵∠EDA=∠B=60°，
∴AE=AC；
∵∠EAC=∠EDC=∠MAD=60°，
∴∠EAM=∠DAC=60°-∠MAF；
又∵DA=AM，
∴△AME≌△ADC，得：EM=DC；
∴DE=EM+DM=DA+DC；…①
∵∠FAD=∠DEC，∠ADF=∠EDC，
∴△ADF∽△EDC；
∴DA•DC=DE•DF；…②
聯立①②可知：DA、DC的長是方程y²-DE•y+DE•DF=0的兩個實數根．
點評：此題考查了圓周角定理、三角形面積的求法、根與系數的關系、根的判別式、特殊角的三角函數值、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性質等知識的綜合應用能力，綜合性強，難度較大．