Question

如圖，在直角坐標系中，A（0，6），C（8，0），OA、AC的中點為M、N，動點P從O出發以每秒1個單位的速度按照箭頭方向通過C、N到M，設P點從O開始運動的路程為x，△AOP的面積為y．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點P從O出發到M止，求y與x的函數關系式；
（3）若⊙P的半徑為3，⊙N的半徑為1；在點P運動過程中，t為何值時⊙P與⊙N相切，（直接寫出t值）．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接運用待定系數法將點A、B的坐標代入解析式就可以求出直線AC的解析式．
（2）y與x的函數關系式，從點A在三段不同的線段上運動的變化規律不同有三個不同的解析式，當在CN上移動是利用勾股定理表示出高從而表示出關系式．
（3）⊙P與⊙N相切的位置分為六種情況進行計算，利用圓相切的性質求出相應的t的值．
解答：解：（1）設直線AC的解析式為：y=kx+b，由題意得：
解得：

∴直線AC的解析式為：

（2）①當0＜x≤8時，
y=OP•AO
∵OP=t，AO=6
y=3x； 
②當8＜x≤13時，由勾股定理可以求出：AC=10
∵N是AC的中點
∴NC=AC=5
∵M是AO中點，
∴MN是△AOC得中位線
∴MN=OC=4
作PE⊥OA于E
∴△AEP∽△AOC
∴
∴解得：
PE=
∴y=
即；

③當13＜x＜17時，
PN=x-13
∴MP=4-（x-13）=17-x
∴y=
∴y=-3x+51

（3）利用三角形相似和勾股定理可以求出：
t=9或11或15或17或4+或4-

點評：本題是一道一次函數的綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，勾股定理的運用，三角形的面積公式等知識點．