Question

【題目】（1）如圖①，在等邊三角形ABC內，點P到頂點A，B，C的距離分別是3，4，5，則∠APB=　 ，由于，PB，PC不在同一三角形中，為了解決本題，我們可以將△ABP繞點A逆時針旋轉60o到處，連接，此時，≌　 　，就可以利用全等的知識，進而將三條線段的長度轉化到一個三角形中，從而求出∠APB的度數；

（2）請你利用第（1）題的解答方法解答：如圖②，△ABC中，，D、E為BC上的點，且，求證：；

（3）如圖③，在△ABC中，，若以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形時，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）150，；（2）見解析；（3）BE＝1+或2+

【解析】

（1）（1）將△ABP繞頂點A旋轉到△AB\P處，△ABP≌△ABP\；進一步說明∠PAP1=60°，再利用等邊三角形的判定得出△AP P1為等邊三角形，即可得出∠APP'的度數;由勾股定理的逆定理可得∠PP'C=90°，即可得出答案；

（2）把繞點順時針旋轉，得到．連接，；

再由"SAS"得到，可得DE=DG，即可把EF，BE，FC放到一個直角三角形中，用勾股定理證明即可；

（3）將繞點順時針旋轉，可得，然后根據全等三角形的性質和已知條件說明，可得DF=DE，由以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形，分情況討論，由直角三角形的性質可求解即可.

（1）解：（1）將△ABP繞頂點A旋轉到△AB\P處，

∴△ABP≌△ABP\

∴AB=AC，AP=AP\，∠BAP=∠CAP\

∴∠BAC=∠PAP\=60°

∴△APP\是等邊三角形

∴∠APP\=600

∵P\C=PB=4，PP'=PA=3，PC=5，

∴PC2=25=P\P2+P\C2=9+16

∴∠PP\C=90°

∴APP\C是直角三角形，

∴∠APB=∠AP\C=∠APP\∠LP\PC=60°+90°=150°

故答案為：150，△ABP

150，

（2）如圖2，把繞點順時針旋轉，得到．連接，

則．

，，．

，．

，

在和中，

，

．

，

又，

，即；

（3）如圖3，將繞點順時針旋轉，得到，，

，，，

，，

，

，，

，且，，

，

以、、為邊的三角形是直角三角形，

以、、為邊的三角形是直角三角形，是直角三角形，

若，且，，，

，

，

，

若，且，，，

，

，

，

∴ 綜上所述，BE＝1+或2+