Question

如圖，在正六邊形ABCDEF內放入2008個點，若這2008個點連同正六邊形的六個頂點無三點共線，則該正六邊形被這些點分成互不重合的三角形共________個．

Answer 1

4020
分析：先求出點的個數，進一步求出互不重合的三角形的個數．
解答：∵正六邊形ABCDEF內放入2008個點，這2008個點連同正六邊形的六個頂點無三點共線，
∴共有2008+6=2014個點．
∵在正六邊形內放入1個點時，該正六邊形被這個點分成互不重合的三角形共6個；即當n=1時，有6個；然后出現第2個點時，這個點必然存在于開始的6個中的某一個三角形內，然后此點將那個三角形又分成3個三角形，三角形數量便增加2個；又出現第3個點時，同理，必然出現在某個已存在的三角形內，然后又將此三角形1分為3，增加2個…，
∴內部的點每增加1個，三角形個數便增加2個．
于是我們得到一個等差數列：存在n個點時，三角形數目a_n=a₁+（n-1）d=6+2（n-1）=2n+4（n≥1）．
由題干知，2008個點的總數為a₂₀₀₈=2×2008+4=4020（個）．
點評：本題是等差數列的應用，找到點的個數是解題的關鍵．