Question

如圖，已知點A（-3，0）和B（1，0），直線y=kx-4經過點A并且與y軸交于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸；
（3）半徑為1個單位長度的動圓⊙P的圓心P始終在拋物線的對稱軸上．當點P的縱坐標為5時，將⊙P以每秒1個單位長度的速度在拋物線的對稱軸上移動．那么，經過幾秒，⊙P與直線AC開始有公共點？經過幾秒后，⊙P與直線AC不再有公共點？

Answer 1

解：（1）令x=0，y=-4，
∴點C的坐標為（0，-4）．

（2）設過A（-3，0），B（1，0），C（0，-4）的函數解析式為：y=a（x+3）（x-1），
則有：a（0+3）（0-1）=-4，
即a=，
∴拋物線的解析式為：y=（x+3）（x-1）=x²+x-4，
對稱軸為x=-，即x=-1．

（3）在Rt△MOC中，OA=3，OC=4，
∴CA===5，
當⊙P向上移動時，永遠不會與直線AC由公共點；
當⊙P向下移動時，設⊙P與直線AC有一個公共點的位置如圖中的⊙P₁和⊙P₂；
⊙P₁與直線AC相切于點D，⊙P₂與直線AC相切于點E，連接P₁D；
則∠NDP₁=90°，又∵MN∥OC，∴∠DNP₁=∠ACO；
又∵∠NDP₁=∠COA=90°，∴△NDP₁∽△COA，
∴，=，NP₁=；
同理NP₂=，把A（-3，0）代入y=kx-4中，-3k-4=0得k=-；
∴直線y=-x-4，把x=-1代入上式，得y=-；
∴MN=|-|=，
∴MP₁=MN-NP₁=-=1，
∴PP₁=PM+MP₁=5+1=6；
PP₂=PP₁+2NP₁=6+2×=9，t_P→P1=6÷1=6（秒），t_P→P2=9÷1=9（秒）；
綜上所述，經過6秒⊙P與直線AC開始有公共點，經過9秒后，⊙P與直線AC不再有公共點．
分析：（1）直線AC的解析式中，令x=0，即可求出C點的坐標．
（2）已知了拋物線圖象上的三點坐標，可利用待定系數法求得該拋物線的解析式，進而可用公式法或配方法求出拋物線的對稱軸方程．
（3）設當直線與圓開始有交點時，此圓為⊙P₁，直線與與圓開始沒有交點時，圓為⊙P₂，那么欲求時間就必須求出PP₁、PP₂的值，設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，與直線AC交于點N；易求得直線AC的解析式，聯立拋物線的解析式可求得點N的坐標，即可得MN的長，設⊙P₁、⊙P₂與直線AC的切點分別為D、E，易證得△NDP₁∽△COA，根據相似三角形的比例線段即可求得P₁N的值，從而由P₁M=MN-NP₁求得點P₁的坐標，同理可求得點P₂的坐標，已知了P點的縱坐標，即可求得PP₁、PP₂的長，由此得解．
點評：此題主要考查了函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、二次函數解析式的確定、直線與圓的位置關系、切線的性質等知識，綜合性強，難度較大．