【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC＝30°，∠APB＝60°．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長．
【答案】（1）見解析；（2）2
【解析】
試題（1）連接OB，證PB⊥OB．根據四邊形的內角和為360°，結合已知條件可得∠OBP=90°得證；
（2）連接OP，根據切線長定理得直角三角形，根據含30度角的直角三角形的性質即可求得結果。
（1）連接OB．
∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．
∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．
∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四邊形的內角和為360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．
∴OB⊥PB．
又∵點B是⊙O上的一點，
∴PB是⊙O的切線．
（2）連接OP，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=
，∠APB=30°．
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4．
∴PA=OP2-OA2=2
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2。
探究與鞏固河南科學技術出版社系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在四邊形 ABCD 中，對角線 AC、BD 相交于點 O，過點 O 的兩條直線分別交邊 AB、CD、AD、BC 于點 E、F、G、H．
（感知）如圖①，若四邊形 ABCD 是正方形，且 AG＝BE＝CH＝DF，則 S 四邊形AEOG＝ S 正方形 ABCD；
（拓展）如圖②，若四邊形 ABCD 是矩形，且 S 四邊形 AEOG＝
S 矩形 ABCD，設 AB＝a， AD＝b，BE＝m，求 AG 的長（用含 a、b、m 的代數式表示）；
（探究）如圖③，若四邊形 ABCD 是平行四邊形，且 AB＝3，AD＝5，BE＝1， 試確定 F、G、H 的位置，使直線 EF、GH 把四邊形 ABCD 的面積四等分．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥BC，BD與AC相交于點E，AB=9，BC=4，DC=3．
（1）求BE的長度；
（2）求△ABE的面積．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知：如圖所示，菱形ABCD中，E，F分別是CB，CD上的點，且BE=DF．
（1）試說明：AE=AF；
（2）若∠B=60°，點E，F分別為BC和CD的中點，試說明：△AEF為等邊三角形．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC和△DEF中，已有條件AB=DE，還需要添加兩個條件才能使△ABC≌△DEF．不能添加的一組條件是（ ）
A. ∠B=∠E，BC=EF B. ∠A=∠D，BC=EF
C. ∠A=∠D，∠B=∠E D. BC=EF，AC=DF
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，動點P從點B出發沿射線BC以1cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒．
（1）求BC邊的長；
（2）當△ABP為直角三角形時，求t的值；
（3）當△ABP為等腰三角形時，求t的值
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．
（1）求證：△ABD是等邊三角形；
（2）若BD=3，求⊙O的半徑．
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