【題目】已知拋物線
與x軸分別交于
，
兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①如圖1，設(shè)
，當(dāng)k為何值時(shí)，
.
②如圖2，以A，F，O為頂點(diǎn)的三角形是否與
相似？若相似，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不相似，請說明理由．
【答案】（1）
，D的坐標(biāo)為
；（2）①
；②以A，F，O為頂點(diǎn)的三角形與
相似，F點(diǎn)的坐標(biāo)為
或
．
【解析】
(1)將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法即求出拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，可求得頂點(diǎn)
；
(2)①由A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)求出
，
，
，可得
為直角三角形，若
，則點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，可求出k的值；
②由條件可判斷
，則
，若以A，F，O為頂點(diǎn)的三角形與
相似，可分兩種情況考慮：當(dāng)
或
時(shí)，可分別求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
(1)
拋物線
過點(diǎn)
，
，
，解得：
，
拋物線解析式為
；
，
頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為
；
(2)①在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
為直角三角形，且
，
，
F為AD的中點(diǎn)，
，
；
②在
中，
，
在
中，
，
，
，
，
，
若以A，F，O為頂點(diǎn)的三角形與相似，則可分兩種情況考慮：
當(dāng)時(shí)，
，
，
設(shè)直線BC的解析式為
，
，解得：
，
直線BC的解析式為
，
直線OF的解析式為
，
設(shè)直線AD的解析式為
，
，解得：
，
直線AD的解析式為
，
，解得：
，
．
當(dāng)時(shí)，
，
，
，
直線OF的解析式為
，
，解得：
，
，
綜合以上可得F點(diǎn)的坐標(biāo)為
或
．
導(dǎo)學(xué)教程高中新課標(biāo)系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方形
中，
是
邊上的一點(diǎn)，
，
，將正方形邊
沿
折疊到
，延長
交
于
．連接
，現(xiàn)在有如下四個(gè)結(jié)論：①
；②
；③
∥；④
; 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A.1B.2
C.3D.4
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】問題背景：如圖，四邊形
中，
，
，
，
，
，
為邊
上一動(dòng)點(diǎn)，連接
、
．
問題探究
（1）如圖1，若
，則
的長為__________．
（2）如圖2，請求出
周長的最小值；
（3）如圖3，過點(diǎn)作
于點(diǎn)
，過點(diǎn)分別作
于
，
于點(diǎn)
，連接
①是否存在點(diǎn)，使得
的面積最大？若存在，求出面積的最大值，若不存在，請說明理由；
②請直接寫出面積的最小值．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線
交
軸于點(diǎn)
，交
軸于點(diǎn)
，若圖中陰影部分的三角形都是等腰直角三角形，則從左往右數(shù)第5個(gè)陰影三角形的面積是_____，第2019個(gè)陰影三角形的面積是_____．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以相同的長（大于
AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．若AC＝3，AB＝5，則DE等于_____．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，
是正方形
的對角線，
，邊
在其所在直線上向右平移，將通過平移得到的線段記為
，連結(jié)
，
，并過點(diǎn)
作
，垂足為
，連接
和
，在平移變換過程中，設(shè)
的面積為
，
，則的最大值是________．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】矩形對角線的四等分點(diǎn)叫做矩形的奇特點(diǎn)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)
，
為拋物線
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（在的左側(cè)），且
軸，以
為邊畫矩形
，原點(diǎn)
在邊
上．
（1）如圖1，當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求該矩形在第一象限內(nèi)的奇特點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）如圖2，在點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)過程中，連結(jié)
交拋物線于點(diǎn)
．
①求證：點(diǎn)為矩形的奇特點(diǎn)；
②連結(jié)
，若
，拋物線上的點(diǎn)
為矩形的另一奇特點(diǎn)，求經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓的半徑．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為D，拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)M在直線BC上．
（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達(dá)式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在矩形ABCD中有一個(gè)正六邊形EFGHIJ，其頂點(diǎn)均在矩形的邊上，邊EJ和邊GH分別在矩形的邊AD和BC上，則
＝_____．
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