Question

【題目】如圖，已知△ABC中BC邊上的垂直平分線DE與∠BAC得平分線交于點E，EF⊥AB交AB的延長線于點F，EG⊥AC交于點G．

求證：（1）BF=CG；（2）AF=（AB+AC）．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【解析】

（1）根據線段垂直平分線求出BE=CE，根據角平分線性質求出EF=GE，即可Rt△BFE≌Rt△CGE；
（2）證明△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可得出答案．

證明：（1）連接BE和CE，

∵DE是BC的垂直平分線，
∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE=∠EGC=90°，EF=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中

∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF=CG；

（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE，
在△AFE和△AGE中

∴△AFE≌△AGE，
∴AF=AG，
∵BF=CG，
∴（AB+AC）=（AF-BF+AG+CG）
=（AF+AF）
=AF，
即AF=（AB+AC）．