Question

20．如圖，一個正多邊形的半徑為$\sqrt{2}$，邊心距為1，求該正多邊形的中心角、邊長、內角、周長和面積．

Answer 1

分析 連接OB，由三角函數求出∠OAM=45°，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得出∠AOB=90°，由$\frac{360°}{90°}$=4，得出正多邊形為正方形，由正方形的性質即可得出邊長、內角、周長和面積．

解答 解：連接OB，如圖所示：
∵sin∠OAM=$\frac{OM}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAM=45°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAM=45°，
∴中心角∠AOB=90°，
∵$\frac{360°}{90°}$=4，
∴正多邊形為正方形，
∴AM=BM=OM=1，
∴邊長AB=2，
∴正多邊形的內角為90°，周長=4AB=8，正多邊形的面積=AB²=4．

點評 本題考查了正多邊形和圓、三角函數、正多邊形的有關計算；根據題意求出正多邊形是正方形是解決問題的關鍵．