Question

（2011•徐匯區二模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，D為OC的中點，直線AD交拋物線于點E（2，6），且△ABE與△ABC的面積之比為3：2．
（1）求直線AD和拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與x軸相交于點F，點Q為直線AD上一點，且△ABQ與△ADF相似，直接寫出點Q點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據△ABE與△ABC的面積之比為3：2，E（2，6）可求出C、D兩點的坐標，用待定系數法可求出直線AD的解析式，進而可求出A點坐標，再根據A、C、E三點的坐標即可求出拋物線的解析式；
（2）先根據△ABQ與△CED相似求出B、F兩點的坐標，再根據△ABQ∽△AFD或△ABQ∽△ADF時三角形的對應邊成比例即可求出AQ的長，從而求出Q點的坐標．
解答：解：（1）∵△ABE與△ABC的面積之比為3：2，E（2，6），
∴C（0，4），D（0，2），
設直線AD的解析式為y=kx+b，
由題意得，解得，直線AD的解析式為y=2x+2，
∴A（-1，0）．
拋物線經過A、C、E三點，得解得．
所求拋物線的解析式為：y=-x²+3x+4．

（2）當△ABQ與△CED相似時，
由（1）有B（4，0），F（，0）
①若△ABQ∽△AFD，=，即=，AQ=2，Q（1，4）或（-3，-4）
②若△ABQ∽△ADF，=，即=，AQ=，Q（，5）或（-，-5）．
點評：本題考查的是用待定系數法求二次函數及一次函數的解析式，相似三角形的判定與性質，在解答（2）時要注意分類討論．