Question

（2004•湖州）如圖，在半徑為9，圓心角為90°的扇形OAB的上有一動點P，PH⊥OA，垂足為H，設G為△OPH的重心（三角形的三條中線的交點），當△PHG為等腰三角形時，PH的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：題中只說△PHG為等腰三角形．沒有指明哪個是底哪個是腰，則應該分三種情況進行分析，從而求得PH的長．
解答：解：如圖，MH，NP是Rt△OPH的兩條中線，交點為G，
∵MN∥PH，MN=PH
∴MN⊥OH
設PH=x
（1）當PG=PH=x時，
∵MN∥PH，
∴==
∴NG=x
∵NH²=NP²-PH²=（x）²-x²=x²，ON²+MN²=OM²
∵ON=NH，
∴x²+（x）²=（）²
∴x=；

（2）當PH=GH=x時，
同理得x=3；

（3）當GH=PG時，G點在線段PH的中垂線上，G點不是三角形的重心了．
所以PH的長為3或．
點評：本題考查了三角形重心的概念，中位線定理，相似比，勾股定理等知識，還涉及了分類討論的思想，具有較強的綜合性．