Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，點B在x軸上，以3為半徑的⊙B與y軸相切，直線l過點A（-2，0），且和⊙B相切，與y軸相交于點C．
（1）求直線l的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經過點O和B，頂點在⊙B上，求拋物線的解析式；
（3）若點E在直線l上，且以A為圓心，AE為半徑的圓與⊙B相切，求點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）過B作BD⊥直線l于D，由于直線l與⊙B相切，那么BD=3，進而可求得AD=4，即可得到∠CAO的余切值，從而在Rt△CAO中，根據OA的長，求得OC的值，也就能得到C點的坐標，進而可利用待定系數法求得直線l的解析式；
（2）若拋物線同時經過O、B兩點，那么拋物線的頂點必為線段OB的垂直平分線與⊙B的交點，過OB的中點F作OB的垂線，交⊙B于H，那么點H即為拋物線的頂點，連接BH，通過解直角三角形，易求得BF、FH的長，即可得到點H的坐標，然后可利用待定系數法求得該拋物線的解析式；
（3）此題要分兩種情況考慮：
①兩圓外切，那么AE=AO=2，利用∠CAO的正弦值和余弦值，即可求得點E的坐標，
②兩圓內切，那么AE=8，同①可求得點E的坐標．

解答：解：（1）過B作BD垂直l交于點D，
∵⊙B與l相切，
∴BD=3，
在Rt△ADB中，AB=5，AD=

(5)2-(3)2

=4，
在Rt△ACO、Rt△ADB中，cot∠CAO=

4

3

，
∵AO=2，
∴CO=1.5．
設直線l的解析式為y=kx+1.5，A（-2，0）代入
得k=

3

4

，
∴y=

3

4

x+1.5；

（2）過OB的中點F作HF垂直于x軸交⊙B于點H，連接BH．
∵在Rt△HFB中，BH=3，BF=1.5，
HF=

(3)2-(1.5)2

=

3

2

3

，
∴H(

3

2

，-

3

2

3

)，
將O（0，0）、B（3，0）、H(

3

2

，-

3

2

3

)代入y=ax²+bx+c（a＞0），
得y=

2

3

3

x2-2

3

x；

（3）當兩圓外切時，AE=2，
作EN⊥x軸于點N．則△AEN∽△ABD，
∴

EN

BD

=

AE

AB

，即

EN

3

=

2

5

，解得：EN=

6

5

，
把y=

6

5

代入y=

3

4

x+1.5得：x=-

2

5

，則E的坐標是：（-

2

5

，

6

5

），
同理，當E在A的左側時坐標是：（-

18

5

，-

6

5

）；
當兩圓內切時，AE=8，同上可求得：E（

22

5

，

24

5

）或（-

42

5

，-

24

5

）．

點評：此題主要考查了切線的性質、解直角三角形、函數解析式的確定、拋物線的對稱性、圓與圓的位置關系等知識，難度適中．