Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上．
（1）若∠B=∠CAD=30°，求證：AD是⊙O的切線；
（2）若將（1）中的條件改為“∠B=∠CAD”，（1）中的結論還成立嗎？說明理由；
（3）在第（1）問的條件下，若OD⊥AB，BC=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA．根據圓周角定理，得∠AOC=2∠B=60°，根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理，得∠OAC=∠ACO=60°，從而得到∠OAD=90°，則AD是⊙O的切線；
（2）設∠B=∠CAD=α．根據圓周角定理，得∠AOC=2α，從而求得∠OAC=90°-α，則∠OAD=90°，即可證明AD是⊙O的切線；
（3）根據垂徑定理，得弧BC=弧AC，則AC=BC=2．結合（1）的結論，知OA=OC=AC=2，在直角三角形OAD中，利用解直角三角形的知識即可求解．
解答：解：（1）連接OA．
∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=60°．
∴∠OAC+∠CAD=60°+30°=90°，
∴AD是⊙O的切線．

（2）成立．
設∠B=∠CAD=α．
∴∠AOC=2α，
∴∠OAC=（180°-2α）=90°-α，
∴∠OAC+∠CAD=90-α°+α=90°，
∴AD是⊙O的切線．

（3）∵OD⊥AB，
∴弧BC=弧AC．
∴BC=AC．
由（1）可知：OA=AC=BC=2，∠O=60°，
∵在Rt△AOD中，AO=2，∠O=60°，
∴AD=OA•tan60°=2．
點評：此題綜合運用了圓周角定理、等腰三角形的性質、三角形的內角和定理、切線的判定定理以及解直角三角形的知識．