Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，點D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，DE：BC=1：3．若點F從點B開始以每秒1個單位長的速度在射線BC上運動．當點F運動時間t＞0時，直線FD與過點A且平行于BC的直線相交于點G，射線GE與射線BC相交于點H． AB與GH相交于點O．請解答下列問題：
（1）設△AEG的面積為S，寫出S與t的函數關系式；
（2）當t為多少秒時，AB⊥GH；
（3）求△GFH的面積．

Answer 1

解：（1）設BF=t
由DE：BC=1：3，則==
而GA∥BC可得△ADG∽△BDF
∴=
∴AG=BF=t
∴S=AG•AE=×t×2=t；

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠OAE=45°
若AB⊥GH
則在△AOG、△AOE中，∵∠OGA=∠OAE=∠OEA=45°
∴AG=AE=2
∵已證AG=BF
∴BF=4
∴t=4
當t為4秒時，AB⊥GH；

（3）∵GA∥BH，∴△ADG∽△BDF，△AEG∽△CEH
∴==，==
∴BF=CH
∴FH=BC=6
∴S_△GFH=FH•AC=BC•AC=×6×6=18．
分析：（1）△AEG的面積S等于AE與AG乘積的一半，而且△ADG∽△BDF，然后利用相似比即可寫出S與t的函數關系式；
（2）當AB⊥GH時，AG=AE=2，根據（1）中結論即可算出t的值；
（3）利用相似三角形可證得BF=CH，所以S_△GFH=FH•AC=BC•AC．
點評：本題主要考查一次函數和相似三角形的綜合應用．