Question

（2012•海門市一模）兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：
（1）如圖1，△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內移動），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，它的面積是否變化？如果不變請求出其面積；如果變化，說明理由．
（2）如圖2，當D點移到AB的中點時，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由．
（3）如圖3，△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連接AE，請你求出sin∠DEA的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用平移的性質得出CF=AD，CF∥AD，即可得出S_梯形CDBF=S_△ABC求出即可；
（2）首先利用CD∥BF，FC∥BD，得出四邊形CDBF是平行四邊形，再利用CB⊥DF即可得出四邊形CDBF是菱形；
（3）利用三角形面積得出DH的長，再利用銳角三角函數關系得出sin∠DEA的值即可．

解答：解：（1）它的面積不變，
理由：過C點作CG⊥AB于G，
∵△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內移動），
∴CF=AD，CF∥AD，
在Rt△AGC中，
∵sin60°=

CG

AC

，
∴CG=

3

2

∵AB=2，
∴S_梯形CDBF=S_△ABC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

；

（2）四邊形CDBF的形狀為：菱形，
理由：∵CD∥BF，FC∥BD，
∴四邊形CDBF是平行四邊形，
∵DF∥AC，∠ACB=90°，
∴CB⊥DF，
∴四邊形CDBF是菱形；

（3）解法一：過D點作DH⊥AE于H，
則S_△ADE=

1

2

•AD•EB=

1

2

×1×

3

=

3

2

又S_△ADE=

1

2

•AE•DH=

3

2

，
DH=

3

AE

=

3

7

=

21

7

，
∴在Rt△DHE′中，sin∠DEA=

DH

DE

=

3

2 7

=

21

14

；
解法二：∵△ADH∽△ABE，
即：

DH

3

=

1

7

∴DH=

3

7

=

21

7

，
∴sin∠DEA=

DH

DE

=

3

2 7

=

21

14

．

點評：此題主要考查了銳角三角函數關系以及相似三角形的判定與性質和菱形的判定以及三角形面積求法等知識，利用平移性質得出對應邊之間的關系是解題關鍵．