Question

（2012•海門市一模）關于x的方程kx²+（k-2）x+

k

4

=0有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）設方程的兩根分別為x₁，x₂，若|x₁+x₂|-1=x₁x₂，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由關于x的方程有兩個不相等的實數根，得到根的判別式大于0，且k不為0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍；
（2）利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，代入已知的等式中，得到關于k的方程，求出方程的解得到k的值，將求出的k值代入k的范圍進行檢驗，即可得到滿足題意的k的值．

解答：解：（1）由題意可得：

k≠0 (k-2)2-k2＞0

，
整理得：-4k+4＞0，且k≠0，
解得：k＜1，
則k的范圍是k＜1且k≠0；
（2）由題意可得：

x1+x2= 2-k k x1x2= 1 4

，
∵|x₁+x₂|-1=x₁x₂，
∴|

2-k

k

|-1=

1

4

，即|

2-k

k

|=

5

4

，
∴

2-k

k

=

5

4

或

2-k

k

=-

5

4

，
解得：k=

8

9

或k=-8，
經檢驗k=

8

9

，k=-8滿足題意，
則k的值是

8

9

或-8．

點評：此題考查了根與系數的關系，及根的判別式與方程解的情況，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當b²-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當b²-4ac＜0時，方程無解；當b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根，且方程有解時，設方程的解分別為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．