Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，將三角板中的90°角的頂點繞D點在△ABC內旋轉，角的兩邊分別與AB、AC交于E、F，且點E、F不與A、B、C三點重合．

【小題1】如果∠A=90°求證：DE=DF
【小題2】如果DF//AB，則結論：“四邊形AEDF為直角梯形”是否正確，若正確，請證明；若不正確，請畫出草圖舉反例

Answer 1

【小題1】連接AD
∵AB=AC，D是BC的中點，∠A=90°
∴AD=DC,∠BAD=∠C,
∵∠ADC=90°,∠EDF=90°
∴∠EDA=∠FDC
∴△ADE≌△CDF 得到DE=DF………………………………4分
【小題2】結論不正確. 圖略   ………………………………1分
反例如下：
取時，四邊形ADEF為矩形，不是直角梯形。
DF//AB,
∴∠AED=90°            
當時，四邊形ADEF為矩形，不是直角梯形。
∴結論不正確………………………………4分解析:
(1)根據等腰直角三角形的性質得到∠C=45°，中線AD平分∠BAC，并且AD=BC，則∠BAD=∠C，AD=DC，又∠EDA=∠CDF，根據全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，然后根據全等三角形的性質即可得到結論．
(2)舉出反例。