Question

（2013•潛江模擬）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=

1

2

BC，則△ABC底角的度數(shù)為（　　）

A．45°

B．75°

C．45°或15°或75°

D．60°

Answer 1

分析：作出圖形，分①點(diǎn)A是頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD，從而得到AD=BD=CD，再利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形兩銳角互余求解即可；
②點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)時(shí)，再分AD在△ABC外部時(shí)，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠ACD=30°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可得到底角是15°，AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠C=30°，然后再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求解即可．

解答：解：①如圖1，點(diǎn)A是頂點(diǎn)時(shí)，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AD=

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BC，
∴AD=BD=CD，
在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=

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2

（180°-90°）=45°；
②如圖2，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，且AD在△ABC外部時(shí)，
∵AD=

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2

BC，AC=BC，
∴AD=

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AC，
∴∠ACD=30°，
∴∠BAC=∠ABC=

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×30°=15°；
③如圖3，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，且AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，
∵AD=

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BC，AC=BC，
∴AD=

1

2

AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=∠ABC=

1

2

（180°-30°）=75°；
綜上所述，△ABC底角的度數(shù)為45°或15°或75°．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論求解．