Question

如圖，在⊙O的內接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC于D，且AD=3，當AB=6時，⊙O的面積最大，最大面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意知，需作出圓的直徑AE，利用直徑所對的圓周角是直角，得出△ABD∽△AEC．根據(jù)相似三角形的性質得到邊之間的對應比相等，建立函數(shù)關系式；
根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法，結合函數(shù)關系式進行求解．
解答：解：作直徑AE，連接CE，如圖所示，則∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，∴∠ACE=∠ADB=90度．
又∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC
∴設⊙O的半徑為y，AB的長為x．∴，即 ．
整理得y=（x-6）²+6．
∴y=（x-6）²+6，則當x=6時，y取得最大值，最大值為6．
∴⊙O的最大面積為36π．
故答案為36π．
點評：此題主要考查三角形相似及二次函數(shù)最大值的求法．題目難度較大．