Question

已知：如圖，△ABC為等邊三角形，AB=4

3

，AH⊥BC，垂足為點H，點D在線段HC上，且HD=2，點P為射線AH上任意一點，以點P為圓心，線段PD的長為半徑作⊙P，設AP=x．
（1）當x=3時，求⊙P的半徑長；
（2）如圖1，如果⊙P與線段AB相交于E、F兩點，且EF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果△PHD與△ABH相似，求x的值（直接寫出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=4

3

，∠B=60°．又∵AB=4

3

，AH⊥BC，∴AH=AB•sin∠B=4

3

×

3

2

=6．即得PH=AH-AP=6-x=3．利用勾股定理即可證明；
（2）過點P作PM⊥EF，垂足為點M，連接PE．在Rt△PHD中，HD=2，PH=6-x．利用勾股定理求出PD，然后在Rt△PEM中，由勾股定理得PM²+EM²=PE²．從而可求出答案；
（3）△PHD與△ABH相似，則有

AH

HD

=

BH

PH

，代入各線段的長短即可求出x的值．

解答：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=4

3

，∠B=60°．
又∵AB=4

3

，AH⊥BC，
∴AH=AB•sin∠B=4

3

×

3

2

=6．
即得PH=AH-AP=6-x=3．
在Rt△PHD中，HD=2，
利用勾股定理，得PD=

PH2+DH2

=

32+22

=

13

．
∴當x=3時，⊙P的半徑長為

13

．

（2）過點P作PM⊥EF，垂足為點M，連接PE．
在Rt△PHD中，HD=2，PH=6-x．
利用勾股定理，得PD=

PH2+DH2

=

(6-x)2+4

．
∵△ABC為等邊三角形，AH⊥BC，
∴∠BAH=30°．即得PM=

1

2

AP=

1

2

x．
在⊙P中，PE=PD．
∵PM⊥EF，P為圓心，
∴EM=

1

2

EF=

1

2

y．
于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM²+EM²=PE²．
即得

1

4

x2+

1

4

y2=(6-x)2+4．
∴所求函數的解析式為y=

3x2-48x+160

，
定義域為

10

3

≤x＜

24-4 6

3

．

（3）∵①△PHD∽△ABH，則有

AH

HD

=

BH

PH

，

6

2

=

2 3

PH

，
解得：PH=

2 3

3

，
∴x=AP=6-

2 3

3

，
當P在AH的延長線上時，x=6+

2 3

3

；
②當△PHD∽△AHB時，

AH

AB

=

HD

BH

，
即

6

PH

=

2 3

2

，
解得：PH=2

3

，
∴x=AP=6-2

3

，
當P在AH的延長線上時，x=6+2

3

；
x=6-2

3

，x=6-

2 3

3

，x=6+

2 3

3

，x=6+2

3

．

點評：本題考查了相似三角形及等腰三角形的判定與性質，難度較大，關鍵是掌握相似三角形的性質及勾股定理的運用．