Question

保護生態環境，建設綠色社會已經從理念變為人們的行動．某化工廠2011年1 月的利潤為160萬元．設2011年1月為第l個月，第x個月的利潤為y萬元．由于排污超標，該廠決定從2011年l月底起適當限產，并投入資金進行治污改造．整個工程經過治污改造、調試、全面投產三個時期．經測算：從1月到5月為治污改造期，y是x的二次函數，且其圖象的頂點為（5，80），到5月底治污改造工程順利完成，緊接的6月、7月為調試期，月利潤和5月份持平，調試期過后，設備全面投產，該廠每月利潤比前一個月增加15萬元，如圖所示．
（1）求治污改造期間y與x的函數關系式：
（2）全面投產后，經過幾個月該廠月利潤才能達到2011年1月的水平？
（3）當月利潤少于100萬元時，該月為工廠資金緊張期，資金緊張期連續超過6個月就有停產的危險，問：該廠這次改造工程是否有導致停產的危險？

Answer 1

解：（1）根據圖象，二次函數圖象經過（1，160），
設二次函數為y=a（x-5）²+80，
則16a+80=160，
解得a=5，
∴二次函數為y=5（x-5）²+80 （1≤x≤5），
∴治污改造期間y與x的函數關系式為y=5（x-5）²+80；

（2）設利潤為y，
y=80+15（x-7），
當y=160時，x=12，
12-7=5，
∴全面投產后，經過6個月，該廠利潤才能達到160萬元；

（3）當y=100時，100=5（x-5）²+80，解得x₁=3，x₂=7，
80+15（x-7）=100，解得x=8，
∴資金緊張期共有8-2=6個月．
故該廠資金緊張期共有6個月，沒有停產的危險．
分析：（1）用頂點式設出二次函數解析式，把（1，160）代入可得二次函數解析式；
（2）7月后y=80+15×比7月份增加的月數，讓y=160求得合適的整數解即可；
（3）分別把100代入（1）（2）得到的關系式，看利潤為100時共有幾個月，與6比較即可．
點評：考查二次函數的應用；由于得到的月份不是整月份，易錯點是根據實際情況采用進一法或去尾法．