Question

如圖，在△ABC中AB=AC=6cm，BC=8cm．點E是線段BC邊上的一動點（不含B、C兩端點），連結AE，作∠AED=∠B，交線段AB于點D．
（1）求證：△BDE∽△CEA；
（2）設BE=x，AD=y，請寫y與x之間的函數關系式，并求y的最小值．
（3）E點在運動的過程中，△ADE能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據∠BDE=∠CEA，∠B=∠C證得結論；
（2）利用（1）中相似三角形的對應邊成比例列出比例式

BD

EC

=

BE

AC

，則把相關線段的長度代入即可列出y與x的關系式．注意自變量x的取值范圍要注明；
（3）根據三角形外角性質和三角形的邊角關系知AE≠AD．所以當△ADE是等腰三角形時，分兩種情況：①當AE=DE時，△BDE≌△CEA；②當DA=DE時，△BAE∽△BCA．所以根據全等三角形和相似三角形的性質來求線段BE的長度．

解答：（1）證明：∵∠BDE=180°-∠DEB-∠B，∠CEA=180°-∠DEB-∠AED，
又∠B=∠AED，
∴∠BDE=∠CEA，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDE∽△CEA；

（2）解：∵△BDE∽△CEA，
∴

BD

EC

=

BE

AC

，
即

6-y

8-x

=

x

6

，
∴y=

1

6

x2-

4

3

x+6=

1

6

(x-4)2+

10

3

（0＜x＜8），
∴當x=4，y有最小值是

10

3

；

（3）解：∵∠ADE是△BDE的外角，
∴∠ADE＞∠B，
∵∠B=∠AED，
∴∠ADE＞∠AED，
∴AE≠AD．
①當AE=DE時，
得△BDE≌△CEA，
∴BE=AC=6cm；
②當DA=DE時，∠BAE=∠AED=∠C，
又∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCA，
∴

BA

BC

=

BE

BA

，
即：

6

8

=

BE

6

，
∴BE=

36

8

=

9

2

cm，
∴△ADE為等腰三角形時，BE=6cm或

9

2

cm．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、三角形外角的性質，二次函數的最值等知識點．解答（3）題時，要分類討論，以防漏解．