Question

【題目】如圖，I是△ABC的內心，∠BAC的平分線與△ABC的外接圓相交于點D，交BC于點E．

（1）求證：BD=ID；

（2）求證：ID2=DEDA．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題（1）連接BI，CI，CD，求證△BCD為等腰三角形，再利用BI為∠ABC平分線，求證△DBI為等腰三角形，利用等量代換即可證明；

（2）證△DBE∽△DAB，得DB2=DEDA，再由（2）得DI2=DEDA．

試題解析：（1）證明：連接BI，CI，CD，

∵I為內心，

∴AI為∠BAC角平分線，

BI為∠ABC平分線，

∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠DAC，

∵∠BID=∠ABI+∠BAI，

∠CBD=∠DAC=∠BAI，

∴∠BID=∠CBI+∠CBD=∠DBI，

∴△DBI為等腰三角形，

∴DB=DI；

（2）證明：∵∠DBE=∠CAD，∠BAE=∠CAE，

∴∠BAE=∠EBD，

∴△DBE∽△DAB，

∴

∴DB2=DEDA，

又∵DB=DI（已證），

∴DI2=DEDA．