Question

如圖，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上的任意一點，則PA+PC的最小值為多少？

Answer 1

分析：由于A、B兩點關于MN對稱，因而PA+PC=PB+PC，即當B、C、P在一條直線上時，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．

解答：解：連接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，
∴BE=

1

2

AB=4，CF=

1

2

CD=3，
∴OE=

OB2-BE2

=

52-42

=3，
OF=

OC2-CF2

=

52-32

=4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在Rt△BCH中根據勾股定理得到BC=

BH2+CH2

=

72+72

=7

2

，即PA+PC的最小值為7

2

．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知“兩點之間線段最短”是解答此題的關鍵．