Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．

（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）當BD=6，AB=10時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC與⊙O相切．理由如下：

連結OE，如圖，

∵BE平分∠ABD，

∴∠OBE=∠DBO，

∵OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠DBO，

∴OE∥BD，

∵AB=BC，D是AC中點，

∴BD⊥AC，

∴OE⊥AC，

∴AC與⊙O相切；

（2）解：設⊙O半徑為r，則AO=10﹣r，

由（1）知，OE∥BD，

∴△AOE∽△ABD，

∴ ，即 ，

∴r= ，

即⊙O半徑是 ．

【解析】（1）根據等腰三角形的性質，得到對邊對等角，由角平分線的定義得到內錯角相等，得到OE∥BD，根據等腰三角形的三線合一得到BD⊥AC，得到AC與⊙O相切；（2）根據（1）知，OE∥BD，得到△AOE∽△ABD，得到比例，求出⊙O的半徑.
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．