Question

如圖，有一等腰梯形紙片ABCD，AD∥BC，AB=CD，沿對角線AC將△ACD折疊，點D恰好落在BC邊上的中點E處，則上底AD與對角線AC之間滿足的等量關系應是

 

．

Answer 1

分析：由折疊的性質可得AD=AE，CD=CE，∠ECA=∠DCA，∠EAC=∠DAC，又由AD∥BC，易證得△AEC與△ADC是等腰三角形，即可得AE=EC=CD=AD，又由AB=CD，可得△ABE是等邊三角形，繼而求得△ABC是直角三角形，然后由三角函數的性質，即可求得上底AD與對角線AC之間的等量關系．

解答：解：根據折疊的性質：AD=AE，CD=CE，∠ECA=∠DCA，∠EAC=∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACE，
∴∠DAC=∠EAC=∠ECA=∠DCA，
∴AE=EC，AD=CD，
∴AE=EC=CD=AD，
∵E是BC邊的中點，
∴BE=CE，
∵AB=CD，
∴AB=AE=BE=AD=CD，
∴∠B=∠BAE=∠AEB=60°，
∵∠AEB=∠EAC+∠ECA，
∴∠EAC=30°，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠BCA=tan30°=

AB

AC

=

3

3

，
∴AC=

3

AB，
∴AC=

3

AD．
故答案為：AC=

3

AD．

點評：此題考查了等腰梯形的性質，等腰三角形的判定與性質，折疊的性質，以及直角三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意特殊圖形的性質．