Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC邊上的中線，分別以AB、AC所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系（如圖）．
（1）求直線BD的函數關系式；
（2）在BD所在的直線上求一點P，使四邊形ABCP為平行四邊形（保留作圖痕跡），并簡要說明作法，根據作圖過程，說明作出的四邊形是平行四邊形；
（3）求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先求出點D的坐標，然后利用待定系數法即可得出直線BD的函數關系式；
（2）延長BD至P使BD=BP，則點P即是要找的點；
（3）根據平行四邊形的性質可得CP∥AB，且CP=AB，從而可得出點P的坐標．

解答：解：（1）∵AB=AC=4，BD是AC邊上的中線，
∴點B坐標為（0，4），點D坐標為（2，0），
設直線BD的函數解析式為：y=kx+b，
則

2k+b=0 b=4

，
解得：

k=-2 b=4

，
故直線BD的函數關系式為y=-2x+4；

（2）延長BD至P使BD=DP，連接AP、CP，則四邊形ABCP為平行四邊形．
由題意得，AD=DC，
又∵BD=DP，
∴四邊形ABCP是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；

（2）∵ABCP是平行四邊形，
∴CP

∥

.

AB，
故可得點P的縱坐標為-4，代入直線BD解析式可得點P的橫坐標為4，
即可得點P的坐標為（4，-4）．

點評：此題考查了一次函數的綜合題，解答本題需要求出點D的坐標，從而得出直線BD的函數解析式，第二問需要我們熟練掌握平行四邊形的判定定理，難度一般．