Question

已知直線y=-x+4交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B，且拋物線上有不同的兩點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）．
（1）求A，B兩點的坐標，并求拋物線的解析式；
（2）設點P（x，y）（x＞0）是直線y=x上的一點，Q是OP的中點（O是原點）以PQ為對角線作正方形PEQF，若正方形與PEQF與直線AB有公共點，求x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S，求S關于x的函數解析式，并探究S的最大值．

Answer 1

解：（1）當x=0時，y=4，即B（0，4），
當y=0時，x=4，即A（4，0），
∵拋物線上有不同的兩點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的縱坐標相等，
∴點E和點F關于拋物線對稱軸對稱，
∴對稱軸x=-==1，
把點A，點B代入拋物線解析式中求得a=，b=1，c=4，
∴拋物線解析式為y=-x²+x+4；

（2）當點P（x，x）在直線AB上時，x=-x+4，
解得x=2，
當點Q（，）在直線AB上時，=-+4，
解得x=4．
所以，若正方形PEQF與直線AB有公共點，則2≤x≤4．

（3）當點E（x，）在直線AB上時，（此時點F也在直線AB上）=-x+4，
解得x=．
①當2≤x＜時，直線AB分別與PE、PF有交點，設交點分別為C、D，
此時，PC=x-（-x+4）=2x-4，
又PD=PC，
所以S_△PCD=PC²=2（x-2）²，
從而：S=x²-2（x-2）²=-x²+8x-8=-（x-）²+．
∵2≤＜，
∴當x=時，S_max=．
②當≤x≤4時，直線AB分別與QE、QF有交點，設交點分別為M、N，
此時，QN=（-+4）-=-x+4，
又QM=QN，
∴S_△QMN=QN²=（x-4）²，
即S=（x-4）²．
其中當x=時，S_max=．
綜合①②得，當x=時，S_max=．
分析：（1）由直線y=-x+4交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，即可求得A，B的坐標，又由拋物線上有不同的兩點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）的縱坐標相等，即可求得此拋物線的對稱軸，利用待定系數法即可求得解析式；
（2）分別從當點P（x，x）在直線AB上時與當點Q（，）在直線AB上時分析，即可求得x的取值范圍；
（3）首先求得當點E（x，）在直線AB上時x的值，再分別從當2≤x＜時與當≤x≤4時去分析，注意三角形的面積求解方法與二次函數最大值的求解方法的應用．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，函數自變量的取值范圍的確定、二次函數最大值的確定以及三角形面積的求解等知識．此題綜合性很強，注意數形結合思想與分類討論思想的應用．