Question

如圖，在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為30°，在射線OC上取點A，過點A作AH⊥x軸于點H．在拋物線y=x²（x＞0）上取點P，在y軸上取點Q，使得以P，O，Q為頂點，且以點Q為直角頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是    ．

Answer 1

【答案】分析：由于AH的長度沒有確定，所以只要以點Q為直角頂點的三角形與△AOH相似，那么兩者就有可能全等；當點Q為直角頂點時，若∠POQ=30°或∠POQ=60°時，都符合解題要求，那么可根據∠POx的度數求出直線OP的解析式，然后聯立拋物線的解析式即可得點P的坐標．
解答：解：在Rt△AOH中，∠AOH=30°；
由題意，可知：當∠POQ=30°或∠POQ=60°時，以點Q為直角頂點的△POQ與△AOH全等，
故∠POx=60°或∠POx=30°；
①當∠POx=60°時，k_OP=tan60°=，所以，直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式，有：
，
解得，，
即：P₁（，3）；
②當∠POx=30°時，k_OP=tan30°=，所以，直線OP：y=x，聯立拋物線的解析式，有：
，
解得，，
即：P₂（，）．
故答案：（3，），（，）．
點評：此題的難度并不大，抓住兩個關鍵條件：①點Q為直角頂點，②以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等；由于題目沒有明確告知AH的長，所以只要兩者相似即可視作全等，這也為解題帶來了很大的便利．