Question

已知：如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊AC于點D，且過點D的切線DE平分邊BC．
（1）BC與⊙O是否相切？請說明理由；
（2）當△ABC滿足什么條件時，以點O，B，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，BD，根據已知及圓周角定理等可求得∠ABC=90°，OD是半徑，故BC與⊙O相切．
（2）若四邊形OBED是平行四邊形，應有OD∥BC，OD=BE；而BE=CE，所以BC=2BE=2OD=AB，故此時△ABC是等腰直角三角形．
解答：解：（1）BC與⊙O相切；
理由：連接OD，BD；
∵DE切⊙O于D，AB為直徑，
∴∠EDO=∠ADB=90°，
∵DE平分CB，
∴DE=BC=BE，
∴∠EDB=∠EBD；
∵∠ODB=∠OBD，∠ODB+∠EDB=90°，
∴∠OBD+∠DBE=90°，
即∠ABC=90°，
∴BC與⊙O相切；

（2）當△ABC為等腰直角三角形（∠ABC=90°）時，四邊形OBED是平行四邊形；
∵△ABC是等腰直角三角形（∠ABC=90°），
∴AB=BC，
∵BD⊥AC于D，
∴D為AC中點，
∴OD=BC=BE，OD∥BC，
∴四邊形OBED是平行四邊形．
點評：本題考查直角三角形的性質，圓周角定理及切線的判定等知識的綜合運用．