Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC，交BC于點E，點D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圓，且交AC于點G．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AC+GC=5，求直徑AD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由OA=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AE為角平分線得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行，得到AC與OE平行，再根據兩直線平行同位角相等及∠C為直角，得到OE與BC垂直，可得出BC為圓O的切線；
（2）過E作EF垂直于OD，連接EG，利用AAS得出△ACE≌△AFE，根據全等三角形對應邊相等得到AC=AF，CE=FE，再由圓內接四邊形的外角等于內對角得到一對角相等，再由一對直角相等及CE=FE，利用AAS得出△CEG≌△FED，可得出CG=FD，由AF+FD=AD，等量代換即可求出AD的長．
解答：解：（1）證明：連接OE，
∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
則BC為圓O的切線；

（2）過E作EF⊥AB于點F，連接EG，
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（AAS），
∴AC=AF，CE=FE，
∵∠AED=90°，
∴AD是⊙O的直徑，又點D在⊙O上，
∴四邊形AGED是圓內接四邊形，
又∠CGE為圓內接四邊形AGED的外角，
∴∠CGE=∠EDA，
在△CEG和△FED中，
，
∴△CEG≌△FED（AAS），
∴CG=FD，又AC+CG=5，
則AD=AF+FD=AC+CG=5．
點評：此題考查了切線的判定，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，以及圓內接四邊形的性質，切線的判定方法有兩種：有點連接證垂直；無點作垂線，證明垂線段等于半徑．