Question

已知：拋物線C₁：與C₂：y=x²+2mx+n具有下列特征：①都與x軸有交點；②與y軸相交于同一點．
（1）求m，n的值；
（2）試寫出x為何值時，y₁＞y₂？
（3）試描述拋物線C₁通過怎樣的變換得到拋物線C₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于兩函數都與x軸有交點，可令拋物線C₁中，y=0，得出的方程必有△≥0，時，據此可求出的m的值，由于兩函數與y軸的交點相同，可先根據C₁求出與y軸的交點，然后代入C₂中即可求出n的值．
（2）根據（1）可得出兩函數的解析式，令y₁＞y₂，可得出一個不等式方程，即可求出x的取值范圍．
（3）將兩函數化為頂點式，即可得出所求的結論．
解答：解：（1）由C₁知：△=（m+2）²-4×（m²+2）=m²+4m+4-2m²-8=-m²+4m-4=-（m-2）²≥0，
∴m=2．
當x=0時，y=4．∴當x=0時，n=4；

（2）令y₁＞y₂時，x²-4x+4＞x²+4x+4，
∴x＜0．
∴當x＜0時，y₁＞y₂；

（3）由C₁向左平移4個單位長度得到C₂．
點評：本題主要考查了函數圖象的交點、二次函數與一元二次方程的關系、二次函數圖象的平移等知識．
根據已知條件用根的判別式得出m的值進而求出兩函數的解析式是解題的關鍵．