Question

（1）如圖，在△ABC中，D、E是BC邊上的兩點，請你從下面三項中選出兩個作為條件，另一個作為結論，寫出真命題，并加以證明．
①AB=AC，②AD=AE，③BD=CE．

（2）如圖，河流的兩岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排間隔為50米的電線桿C、D、E、…，某人在河岸PQ的A處測得∠CAQ=30°，然后延河岸走了110米到達B處，測得∠DBQ=45°，求河流的寬度（結果可帶根號）．

Answer 1

分析：（1）任意選擇其中兩個作為條件，另一個作為結論，都構成真命題，可以通過證明△ABD≌△ACE證出結論；
（2）應合理應用∠CAQ的度數，CD的長度，所以過點D作CA的平行線得到平行四邊形．過點D向對邊引垂線，得到直角三角形，進而利用三角函數值求得河寬．

解答：解：（1）解法一：如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．（1分）
證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
同理∠ADE=∠AED，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即∠ADB=∠AEC．（2分）
在△ABD和△ACE中，
∵

∠ADB=∠AEC ∠B=∠C AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE；（3分）
解法二：如果AD=AE，BD=CE，那么AB=AC．（1分）
證明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即∠ADB=∠AEC．（2分）
在△ABD和△ACE中，
∵

AD=AE ∠ADB=∠AEC BD=CE

，
∴△ABD≌△ACE，∴AB=AC；（3分）
解法三：如果BD=CE，AB=AC，那么AD=AE．（1分）
證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．（2分）
在△ABD和△ACE中
∵

BD=CE ∠B=∠C AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．（3分）
（此題還有其他的證明方法，不再一一列舉，酌情分步給分）

（2）過D作DH∥CA交PQ于H，過D作DG⊥PQ，垂足為G，（4分）
∵PQ∥MN，DH∥CA
∴四邊形CAHD是平行四邊形．
∴AH=CD=50，∠DHQ=∠CAQ=30°（5分）
在Rt△DBG中，∵∠DBG=∠BDG=45°，
∴BG=DG，設BG=DG=x，
在Rt△DHG中，得HG=

3

x，（6分）
又BH=AB-AH=110-50=60，
∴60+x=

3

x，
∴x=30

3

+30（米）．
河流的寬為（30

3

+30）米．（7分）

點評：本題考查銳角三角函數的應用．難點是作出輔助線，利用三角函數求解．