Question

如圖△ABC是⊙O內接三角形，點C是優孤AB上一點（點C與A、B不重合）設∠OAB=α，∠C=β．
（1）當α=36°時，求β的度數；
（2）猜想α與β之間的關系，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）求β，根據已知條件只需求得它所對的弧所對的圓心角的度數，根據等邊對等角和三角形的內角和定理即可求得；
（2）結合（1）中的計算過程，即可推導出兩者之間的關系．

解答：解：（1）連OB，則OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=36°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=108°
∴β=∠C=

1

2

∠AOB=54°；

（2）α與β之間關系是α+β=90°．
證明：連OB，則OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=α
∴∠AOB=180°-2α
∴β=∠C=

1

2

∠AOB=

1

2

（180°-2α）=90°-α．
∴α+β=90°．

點評：此題是一道常規中檔題，主要考查圓周角、圓心角關系定理．主要證法有三種：
（1）連接OB，構建圓周角與圓心角的關系；
（2）連OB，并作AB的垂線段OD，利用等腰三角形三線合一的性質、圓周角與圓心角的關系求解；
（3）延長AO交⊙O于E，連接BE，利用圓周角定理，把α與β放在同一個直角三角形中．