Question

已知：如圖，在⊙O中，弦CD垂直直徑AB，垂足為M，AB=4，CD=2

3

，點E在AB的延長線上，且tanE=

3

3

．求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：連接OD．根據垂徑定理，得DM=

1

2

CD=

3

，在直角三角形ODM和直角三角形DME中，利用銳角三角函數分別求得∠DOM和∠E的度數，從而求得∠ODE的度數，即可證明DE是圓的切線．

解答：證明：連接OD．
∵弦CD⊥直徑AB，AB=4，CD=2

3

，
∴MD=

1

2

CD=

3

，OD=

1

2

AB=2．
在Rt△OMD中，
∵sin∠DOM=

MD

OD

=

3

2

，
∴∠DOM=60°．
在Rt△DME中，
∵tanE=

3

3

，
∴∠E=30°．
∴∠ODE=90°．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．

點評：此題綜合運用了垂徑定理、銳角三角函數和切線的判定定理．