Question

如圖，同心圓的半徑為6，8，AB為小圓的弦，CD為大圓的弦，且ABCD為矩形，若矩形ABCD面積最大時，矩形ABCD的周長為

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：連接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，將此題轉化成三角形的問題來解決，根據三角函數的定義可以證明三角形的面積S=

1

2

absinC，根據這一公式分析面積的最大值的情況，然后熟練應用勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊乘積除以斜邊求得長方形的長和寬，進一步求其周長．

解答：解：連接OA，OD，作OP⊥AB，OM⊥AD，ON⊥CD，
根據矩形的面積和三角形的面積公式發現：矩形的面積為△AOD面積的4倍，
∵OA、OD的長是定值，∴當∠AOD的正弦值最大時，三角形的面積最大，即∠AOD=90°，則AD=

OA2+OD2

=10，
∵

1

2

AD•OM=

1

2

OA•OD，
∴OM=4.8，AB=9.6，則矩形ABCD的周長是：2（AD+AB）=2×（10+9.6）=39.2．
故答案是：39.2．

點評：本題考查了垂徑定理和矩形的性質，考生應注意熟練運用勾股定理，來求邊長和周長．