Question

【題目】如圖，點、、、、在上，于點，，，為延長線上一點，且，．

求證：是的切線；

若點是弧的中點，且交于點，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連結AC，先求得AC是直徑，從而求得∠D=∠ACB，根據已知得出AB=6，然后根據勾股定理求得AC，根據勾股定理逆定理證得∠CAH=90°即CA⊥AH，即可證得結論；
（2）由點D是弧CE的中點，得出∠EAD=∠DAC，進而求得∠EAH=∠HCA，然后求得∠AFH=∠HAF，根據等角對等邊得出HF=HA=，最后根據射影定理得出AH2=EHCH，即可求得EH的值，進而求得EF的值．

證明：連結，

∵于點，

∴是的直徑，

∵，

∴，

在中，，

∴，

由勾股定理，

在中，由勾股定理逆定理：，

∴即，

∴是的切線．

解：∵點是弧的中點，

∴，

∵是的直徑，

∴，

∴，

∴，

∴，

即，

∴，

∵，，

∴可得，

∴．