Question

揚州市某服裝廠A車間接到生產一批西服的緊急任務，要求必須在12天（含12天）內完成．已知每套西服的成本價為800元，該車間平時每天能生產西服20套．為了加快進度，車間采取工人分批日夜加班，機器滿負荷運轉的生產方式，生產效率得到了提高．這樣，第一天生產了22套，以后每天生產的西服都比前一天多2套．但是由于機器損耗等原因，當每天生產的西服數達到30套后，每增加1套西服，當天生產的所有西服平均每套的成本就增加20元．設該車間第x天生產的西服數為y套．
（1）直接寫出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若這批西服的訂購價格為每套1200元，設該車間每天的利潤為W元，試求出W與x之間的函數關系式，并求出該車間獲得最高利潤的那一天的利潤是多少元？

Answer 1

分析：（1）由題意可知第一天生產22=20+2×1套；第二天生產24=20+2×2套；第三天生產26=20+2×3…依此類推可知第x天生產數量y；
（2）根據自變量的取值范圍，分別求出當1≤x≤5時，以及當5＜x≤12時，求出W的值，即可得出答案．

解答：解：（1）∵第一天生產22=20+2×1套；
第二天生產24=20+2×2套；
第三天生產26=20+2×3；
…，
∴設該車間第x天生產的西服數為y=20+2x（1≤x≤12）；

（2）當1≤x≤5時，W=（1200-800）×（2x+20）=800x+8000，
此時W隨著x的增大而增大，
∴當x=5時，W_最大值=12000；
當5＜x≤12時，
W=[1200-800-20×（2x+20-30）]×（2x+20）
=-80（x-2.5）²+12500，
此時函數圖象開口向下，在對稱右側，W隨著x的增大而減小，又天數x為整數，
∴當x=6時，W_最大值=11520元．
∵12000＞11520，
∴當x=5時，W最大，且W_最大值=12000元．
綜上所述：該車間獲得最高利潤的那一天的利潤是12000元．

點評：本題是實際問題與一次函數、二次函數的綜合運用，同時穿插著分段函數，需要由易到難，逐步求解；基本等量關系是：利潤=（每套西服訂購價-每套西服的成本價-增加的其他費用）×生產量，根據已知結合自變量的取值范圍確定函數解析式進而求出是解題關鍵．