Question

揚州市某服裝廠A車間接到生產一批西服的緊急任務，要求必須在12天（含12天）內完成．已知每套西服的成本價為800元，該車間平時每天能生產西服20套．為了加快進度，車間采取工人分批日夜加班，機器滿負荷運轉的生產方式，生產效率得到了提高．這樣，第一天生產了22套，以后每天生產的西服都比前一天多2套．但是由于機器損耗等原因，當每天生產的西服數達到30套后，每增加1套西服，當天生產的所有西服平均每套的成本就增加20元．設該車間第x天生產的西服數為y套．
（1）直接寫出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若這批西服的訂購價格為每套1200元，設該車間每天的利潤為W元，試求出W與x之間的函數關系式，并求出該車間獲得最高利潤的那一天的利潤是多少元？

Answer 1

（1）∵第一天生產22=20+2×1套；
第二天生產24=20+2×2套；
第三天生產26=20+2×3；
…，
∴設該車間第x天生產的西服數為y=20+2x（1≤x≤12）；

（2）當1≤x≤5時，W=×（2x+20）=800x+8000，
此時W隨著x的增大而增大，
∴當x=5時，W_最大值=12000；
當5＜x≤12時，
W=[1200-800-20×（2x+20-30）]×（2x+20）
=-80（x-2.5）²+12500，
此時函數圖象開口向下，在對稱右側，W隨著x的增大而減小，又天數x為整數，
∴當x=6時，W_最大值=11520元．
∵12000＞11520，
∴當x=5時，W最大，且W_最大值=12000元．
綜上所述：該車間獲得最高利潤的那一天的利潤是12000元．