Question

【題目】如圖，為線段上一動點（不與、重合），在同側分別作等邊和等邊，與交于點，與交于點，與交于點，連接，以下五個結論：①；②；③；④；⑤，恒成立的結論有（ ）

A.①③⑤B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據全等三角形的判定方法，證出△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE．

③先證明△ACP≌△BCQ，即可判斷出CP=CQ，③正確；

②根據∠PCQ=60°，可得△PCQ為等邊三角形，證出∠PQC=∠DCE=60°，得出PQ∥AE，②正確．

④沒有條件證出BO=OE，得出④錯誤；

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正確；即可得出結論．

解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，結論①正確．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

又∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，

∴∠ACP=∠BCQ=60°，

在△ACP和△BCQ中，，

∴△ACP≌△BCQ（AAS），

∴CP=CQ，結論③正確；

又∵∠PCQ=60°，

∴△PCQ為等邊三角形，

∴∠PQC=∠DCE=60°，

∴PQ∥AE，結論②正確．

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠AEO，

∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，

∴結論⑤正確．沒有條件證出BO=OE，④錯誤；

綜上，可得正確的結論有4個：①②③⑤．

故選擇：C.