Question

已知關于x的一元二次方程x²+3x+1-m=0
（1）方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；
（2）設x₁、x₂為方程的兩個根，且m為最大的負整數，求x₁x₂+x₁+x₂的值．

Answer 1

解：（1）∵方程x²+3x+1-m=0有兩個不相等的實數根，
∴△=3²-4×1×（1-m）=4m+5＞0，
解得：m＞-；

（2）∵m＞-，m為最大的負整數，
∴m=-1，
∴此一元二次方程為：x²+3x+2=0，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=2，
∴x₁x₂+x₁+x₂=2+（-3）=-1．
分析：（1）由一元二次方程x²+3x+1-m=0有兩個不相等的實數根，可得判別式△=3²-4×1×（1-m）＞0，解此不等式即可求得m的取值范圍；
（2）根據（1）可得：m=-1，繼而可得一元二次方程為x²+3x+2=0，根據根與系數的關系，可得x₁x₂=2，x₁+x₂=-3，則可求得答案．
點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系與根的判別式．此題難度不大，解題的關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
掌握根與系數的關系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-，x₁x₂=．