Question

如圖，已知△ABC和△DEC都是等邊三角形，B、C、E在同一直線上，連接BD、AE和FG．
（1）求證：AE=BD；
（2）求∠AHB的度數；
（3）求證：DF=GE．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質得到CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，則∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，即∠BCD=∠ACE，然后根據“SAS”可判斷△ACE≌△BCD，則AE=BD；
（2）由于△ACE≌△BCD，可得到∠BDC=∠CEA，即∠FDC=∠GEC，根據三角形外角性質得到∠ACB=∠CAE+∠CEA=60°，則∠DBC+∠CAE=60°，然后根據三角形內角和定理可計算出∠AHB的度數；
（3）由△ACE≌△BCD得到∠BDC=∠CEA，即∠FDC=∠GEC，再利用∠ACB=∠DCE=60°得到∠ACD=60°，然后根據“ASA”可判斷△DFC≌△EGC，所以DF=GE．

解答：（1）證明：∵△ABC和△DEC都是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中

CA=CB ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；

（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠ACB=∠CAE+∠CEA=60°，
∴∠DBC+∠CAE=60°，
∴∠BHE=180°-60°=120°；
（3）證明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC=∠CEA，即∠FDC=∠GEC，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
∴∠FCD=∠GCE，
∵在△DFC和△EGC中

∠FDC=∠GEC CD=CE ∠DCF=∠ECG

，
∴△DFC≌△EGC（ASA），
∴DF=GE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判斷三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應角相等，對應邊相等．也考查了等邊三角形的性質．