Question

如圖，過圓外一點P作圓的兩條切線PA、PB，A、B為切點，再過點P作圓的一條割線分別交圓于點C、D，過點B作PA的平行線分別交直線AC、AD于點E、F．求證：BE=BF．

Answer 1

分析：連接BC、BA、BD．由圓的切線、割線定理、弦切角定理、平行線的性質可得∠ABC=∠PAC=∠E，則推出△ABC∽△AEB，得出相關邊的比，然后可得∠ABF=∠PAB=∠ADB，所以△ABF∽△ADB，得出相關邊的比，結合切線定理可得結論．

解答：證明：如圖，連接BC、BA、BD．所以∠ABC=∠PAC=∠E，則△ABC∽△AEB．
從而，

BE

BC

=

AB

AC

，即BE=

AB•BC

AC

=AB•

BC

AC

①，
∵PA∥EF，PA是圓的切線，
∴∠ABF=∠PAB=∠ADB，
∴△ABF∽△ADB，從而

BF

BD

=

AB

AD

，
即BF=

AB•BD

AD

=AB•

BD

AD

②，
另一方面，又因△PBC∽△PDB，△PCA∽△PAD，
∴

BC

BD

=

PC

PB

，

AC

AD

=

PC

PA

．
∵PA、PB是過圓外一點P作的圓的兩條切線，
∴PA=PB，
∴

BC

BD

=

AC

AD

，于是

BC

AC

=

BD

AD

③，
∴由式①、②、③即知BE=BF．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質定理、圓的切線、割線定理、弦切角定理、平行線的性質，本題的關鍵在于根據弦切角定理、平行線的性質求出角的相等關系，得出相似三角形，求出比例關系．