Question

如圖所示：過圓外一點F作⊙O的兩條切線FA、FD，AB是⊙O的直徑，過O作OC∥AD，交FD的延長線于C，連CB，
（1）求證：CB是⊙O的切線；
（2）過D點作DE⊥AB于E，交AC于P，求證：DP=PE．

Answer 1

（1）證明：連接DO，∵過圓外一點F作⊙O的兩條切線FA、FD，AB是⊙O的直徑，
∴DO⊥CF，
∵OC∥AD，
∴∠DOC=∠ADO，∠COB=∠ODA，
∵AO=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DOC=∠COB，
∵BO=DO，CO=OC，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CDO=∠CBO=90°，
∴CB是⊙O的切線；

（2）證明：由切線長定理，
可設FA=FD=a，CD=CB=b（切線長定理），則CF=a+b，
∵FA∥DE，所以DP：FA=CD：CF，
即DP：a=b：（a+b），
∴DP=ab/（a+b）；
∵DE∥BC，所以PE：BC=AP：AC=DF：CF，
即PE：b=a：（a+b），
∴PE=ab/（a+b）；
∴DP=PE．
分析：（1）根據已知得出BO=DO，CO=OC，以及∠DOC=∠COB，可得證明△CDO≌△CBO，即可證出；
（2）由切線長定理、相似關系或平行線分線段成比例定理，利用比例關系式求解．
點評：此題主要考查了切線的判定定理以及平行線分線段成比例定理和切線長定理等知識，切線的性質定理與判定定理是中考中重點題型同學們應熟練掌握．