Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓O與斜邊AB交于點E，連接DE．
（1）求證：AC=AE；
（2）求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓O的圓周角∠ACB=90°，根據90°的圓周角所對的弦為圓的直徑得到AD為圓O的直徑，再根據直徑所對的圓周角為直角可得三角形ADE為直角三角形，又AD是△ABC的角平分線，可得一對角相等，而這對角都為圓O的圓周角，根據同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等可得CD=ED，利用HL可證明直角三角形ACD與AED全等，根據全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）由三角形ABC為直角三角形，根據AC及CB的長，利用勾股定理求出AB的長，由第一問的結論AE=AC，用AB-AE可求出EB的長，再由（1）∠AED=90°，得到DE與AB垂直，可得三角形BDE為直角三角形，設DE=CD=x，用CB-CD表示出BD=12-x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為CD的長，在直角三角形ACD中，由AC及CD的長，利用勾股定理即可求出AD的長．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB為圓O的圓周角（已知），
∴AD為圓O的直徑（90°的圓周角所對的弦為圓的直徑），
∴∠AED=90°（直徑所對的圓周角為直角），
又AD是△ABC的∠BAC的平分線（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分線定義），
∴CD=DE（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的對應邊相等）；

（2）∵△ABC為直角三角形，且AC=5，CB=12，
∴根據勾股定理得：AB==13，
由（1）得到∠AED=90°，則有∠BED=90°，
設CD=DE=x，則DB=BC-CD=12-x，EB=AB-AE=AB-AC=13-5=8，
在Rt△BED中，根據勾股定理得：BD²=BE²+ED²，
即（12-x）²=x²+8²，
解得：x=，
∴CD=，又AC=5，△ACD為直角三角形，
∴根據勾股定理得：AD==．
點評：此題考查了圓周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定與性質，利用了轉化的思想，本題的思路為：根據圓周角定理得出直角，利用勾股定理構造方程來求解，從而得到解決問題的目的．靈活運用圓周角定理及勾股定理是解本題的關鍵．