Question

如圖所示，矩形OABC位于平面直角坐標系中，AB=2，OA=3，點P是OA上的任意一點，PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合．
（1）設OP=x，OE=y，求y關于x的函數解析式，并求x為何值時，y的最大值；
（2）當PD⊥OA時，求經過E、P、B三點的拋物線的解析式；
（3）請探究：在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點M，使得△EPM為直角三角形？若存在，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題目條件得出Rt△POE∽Rt△BPA，然后根據相似三角形的性質列出比例式，轉化為關于x的二次函數最值問題解答．
（2）設出二次函數的一般式，利用待定系數法列出方程組，求出a、b、c的值即可得到經過E、P、B三點的拋物線的解析式；
（3）由（2），得到∠EPB=90°，即可知點M與點B重合時滿足條件，求出直線PB為y=x-1，與y軸交于點（0，-1），進而求出PB向上平移2個單位則過點E（0，1）的解析式，與拋物線解析式組成方程組，其解即為M點坐標．
解答：解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90°．
∴∠OPE+∠APB=90°．又∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴．即．
∴y=x（3-x）=-x²+x（0＜x＜3）．
且當x=時，y有最大值；

（2）由已知，△PAB、△POE均為等腰三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（3，2）．
設過此三點的拋物線為y=ax²+bx+C，則
∴
∴y=x²-x+1；

（3）由（2）知∠EPB=90°，即點M與點B重合時滿足條件．
直線PB為y=x-1，與y軸交于點（0，-1）．
將PB向上平移2個單位則過點E（0，1），
∴該直線為y=x+1．
由得，
∴M（4，5）．
故該拋物線上存在兩點M（3，2），（4，5）滿足條件．
點評：此題考查了列拋物線解析式、待定系數法求函數解析式及三角形的存在性問題，都要用到數形結合的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．