Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論：
①△AED≌△AEF；②=；③△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；
④BE²+DC²=DE² ⑤BE+DC=DE
其中正確的是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ③④⑤
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①③⑤

Answer 1

C
分析：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因為∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可證明△AEF≌△AED；
②當△ABE∽△ACD時，該比例式成立；
③根據旋轉的性質，△ADC≌△ABF，進而得出△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；
④據①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根據勾股定理判斷．
⑤根據①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可確定該說法是否正確；
解答：解：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，
∴△AED≌△AEF；
故本選項正確；
②∵AB=AC，
∴∠ABE=∠ACD；
∴當∠BAE=∠CAD時，
△ABE∽△ACD，
∴=；
當∠BAE≠∠CAD時，
△ABE與△ACD不相似，即≠；
∴此比例式不一定成立；
故本選項錯誤；
③根據旋轉的性質知△ADC≌△AFB，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ABF=S_{四邊形AFBD}，即三角形ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；
故本選項正確；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∵△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE²+DC²=DE²，
故本選項正確；
⑤根據①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，
∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE，
故本選項錯誤；
綜上所述，正確的說法是①③④；
故選C．
點評：此題主要考查了圖形的旋轉變換以及全等三角形的判定等知識，解題時注意旋轉前后對應的相等關系．